正十二面体で空間充填

化学の教材、分子模型を作る材料で遊んでいました。

正十二面体ができました。

材料はプラスティック製で、正四面体の重心から
4つの頂点方向に棒を接げるようになっています。
下図の黒丸と赤い線です。
(緑のラインは接げません。)

これにどんどん継ぎ足して行ったら、こんなものができました。

正十二面体が4つ接がっています。
どの2つも一つの面を共有しています。

平行法で見てください。

交叉法で見てください。

これをどんどん続けていけば、なんと

正十二面体で空間が充填できる!

西三数学サークルの例会(10/13)に持って行って
皆さんに見てもらいました。

手に取ってじっくり見て、「確かに充填できる」と。

「おかしい」と言ったのは梶田さん一人でした。

種明かしはこちら

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真っ赤な嘘です。

正五角形の内角は108°です。

正四面体の重心から頂点に向かう4本の線の
互いになす角を調べてみました。

黄金比の値をφとします。

θは108°ではなかったのです。

でも、約109.80°と比較的近い値なので
プラスティックの棒(写真の白い棒)の
弾力のおかげで、4つの
正十二面体が
無理やり接続できてしまったのです。

実は、どの正十二面体も少しずつ歪んでいるのです。

材料が手に入る方は、是非試して見て下さい。

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