レーザー二次曲線
レーザーポインターで描いた妖しく輝く二次曲線

10月のある日レーザーポインターを手に入れた。
電池で働く、携帯用のダイオードレーザー光線発生器である。
真っ赤な細いビームの光線が結構遠くまで届く。
夜間ならば200m程度までは十分届くのである。

このレーザーポインターを使って「二次曲線」を描くことができ、写真撮影に成功した。

これがレーザーポインター

まずは、「円」

 

「楕円」

「放物線」

事のいきさつ
手に入れた当初、何でもかんでも照らして遊んでいたのである。
二枚重なったガラスに斜めに当てると、意外な見え方をするなど、ちょっとした発見が
いくつかあった。
進路指導室の片隅に
吊り看板のスタンドが置いてあった。

なんとなくあちこち照らしていたレーザー光線が、そのスタンド付近を通過した瞬間、
直線的に動いていた軌跡が、一瞬「
楕円」を描いたのである。
え!今のは何だ?」という感じであった。
再現しようと試み、今動かしたように何度か動かしてみた。
光線があの「スタンド」の金属の横棒に当たった瞬間、後ろのダンボール上にクルッと
楕円が描かれるのである。
軽いめまいを覚えるような衝撃であった。

赤い軌跡は合成画像です。

写真を撮ろうとしたのであるが、だめだった。
「軌跡」は確かに楕円を描いているのに違いないが、写真に撮るとほとんど一点しか
写らないのだ。
どうして楕円を描くのか、円や放物線、双曲線も描けないか。
当てる角度や、スタンドの位置を変えることによって、円や放物線、双曲線を描くことは
一日を要せず、すぐにできた。
しかし、写真撮影に成功するまでには二週間を要したのである。
ほんのちょっとした工夫であるが、成功したときには興奮した。

考察
平面に垂直に立てた金属の円柱(アルミパイプ、ドライバーの軸、釘など何でもよい)に
斜め上からレーザー光線を当てると、軌跡は円を描く。

図1は水平面での軌跡の様子である。(断面付近の拡大イメージ)
は中心に向かって入射したとき、
は縁をかすめるように入射したときである。
はその途中の点に入射した場合である。

図2は垂直面で見た場合である。
の角度は入射角と等しくθであることはあきらかである。
の場合の反射方向、金属棒と反射光線のなす角について考察してみた。

円柱に斜めに入射した光線の反射点をOとし、
Oを含む円柱の接平面を考える。
入射光線上に点P、反射光線上に点Qを、
OP=OQ、となるようにとる。
点Oでの反射は、接平面での反射と考えてもよい。
接平面にPから下ろした垂線の足をH

Qから下ろした垂線の足をH2とする。
入射角と反射角は等しくαであり、
PH
=OPsinα、QH=OQsinα、OP=OQより、
PH=QH ・・・ ア
OH
=OPcosα、OH=OQcosα、OP=OQより、
OH=OH ・・・ イ
直線H
がOを通ることは自明であり、
∠AOH=∠BOH ・・・ ウ
共に直角三角形であるので、イウより、
三角形AOH
と三角形BOHは合同であり、
AH=BH ・・・ エ
同じく共に直角三角形であるので、アエより、
三角形APH
と三角形BQHは合同であり、
AP=BQ ・・・ オ
ここで、AP=OPsinθ
、BQ=OQsinθ であり、
OP=OQ、オ より、
sinθ=sinθ
共に鋭角であるので、
θ=θ

これは図1のφに依らず成り立つ。
このことから次の事が言える。

円柱の直径が十分に細ければ直線ABは円柱の中心軸とみなしてよいので、
入射光線が円柱のどの点で反射しても、

中心軸と反射光線のなす角は一定であり、中心軸と入射光線のなす角に等しい。

すなわち、
円柱の直径が十分に細ければ、
入射光線を円柱の直径分わずかに平行移動したとき、
反射光線は、
図4のように、反射点を頂点とする
円錐の母線を描く。
そして、受光面には「
」が描かれる。

 

ここで受光面(または円柱)
を斜めにすれば、
円錐を斜めに切ったことになり、
楕円、放物線、双曲線も描くことが
できるわけである。

写真撮影
単純なことであった。
レーザー光線のビームには太さがある。
この「
ビームの太さ」よりも「円柱の直径」がわずかでも小さければよいのである。

ビームが直径全体を覆えば良い。


図1のから、更には上側のギリギリまで、すべての反射が同時に存在できる!

私のレーザーポインターのビームの断面は円ではなかった。
縦1mm、横3mm程の長方形に近いのである。
直径3mm以下の金属の棒をさがせばよい!
ステンレスの釘がないかと捜したが見つからなかった。
見つけたのは、直径2.5mmの「
目打ち」(千枚通し)であった。
木の板に目打ちを突き刺し、斜めに、ビームが直径方向を覆うように照射する。

真っ暗でなくても見えるのだが、真っ暗のほうが「妖しく美しい」光景になるのだ。
電気を消し、手がぶれないように気をつけながらビームを当てる。
それを真上から構えたデジカメで撮影したのである。
(この作業は一人ではできない。かみさんに撮ってもらった。)

サークルにて
11月10日の西三数学サークルの例会で実演し、大変好評であった。
真っ暗な中に鮮やかな放物線が現れた時、歓声があがった。
円が現れている時、薦田さんが「
そうだ!」と言ってタバコの煙を吹きかけた。
ギラギラ輝いている円の上に、
「ぼわーっと真っ赤な円錐」が浮かんだのである。
幻想的な素晴らしい光景だった。
残念ながらその写真はない。
簡単に追試出来る事ですから、是非「
ライヴ」で楽しんでみてほしい。

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