マジック・ペーパークラフト No.26
一見不可能図形に見える。 |
作り方
意外と簡単であった。 色紙は具合がよくない。 裏表が同色の紙がよい。 切るラインは上下の中央まで。 折る角度は90度。 さて、面白いなあ、で終わっては、 |
ここで「数学」が出てくる。 問題:「垂直に立っている紙をK本立てるには切り込みが何本必要か。」 ( 例えば、5本立てるには、切り込みは15本必要なのだ。 ) もちろん、証明が必要であることは言うまでもない。 証明と考察 K本立てるのに必要な切り込みの数を、N(K)とする。 T 一本立てるには切り込みは3本必要。 これは、やってみれば自明である。 すなわちK=1のとき、N=3
つまり
N(1)=3 。 U 今N(K)本の切り込みにより、K本立っているとする。 |
V 右の空白の部分にもう一本立てるには、3本切り込みを増やせばよい。
最初と同様に折り曲げればもう1本立つ。
W よって、N(K+1)=N(K)+3 、 公差3の等差数列になる。 ただし、切り込みは向こう側とこちら側、交互に入れなくてはならない。 K=1,2,3,・・・・・ のとき、 (1,2)、(3,3)、(4,5)、(6,6)、(7,8)、(9,9)、・・・ さて、向こう側、手前側の切り込み数を、それぞれKで表すことはできるであろうか。 向こう側 1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18,・・・・ 解答例 ふ〜っ、頭が固くなったなあ、1日掛かってしまった。 n本立てるとき、向こう側の切り込みの数を、an、 ○ ガウスの括弧を使った場合( 中を計算して、小数以下を切り捨てて整数にする ) ○ ガウスの括弧を使わない場合 補足 「西三数学サークル」で発表したら、 |
「知っていたけれど、二本、三本立てようとは思いつかなかった、 |
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