たとえばオセロ

オセロというゲームをご存知であろう。このゲームをしていて思いついた問題。

1 64のマス目をすべて埋め尽くして終了したとき、
  得点差は必ず偶数であることを証明せよ。

  小中学生ならば大まかな表現でもいいでしょう。
  高校生以上ならば、2k、2k-1 等を用いた厳密な証明を期待したい。

2 一般化してみる。

  打つことのできる場所の総数が偶数であるような盤面を2色の駒で埋め尽くしてゆくゲームを考える。
  ルールは問わない、盤の形状も問わない、(ダイヤモンドゲームのような形であってもかまわない)
  交互に駒を打つのが多いであろうが、そうでなくてもよい、一方がパスし、相手が連打になる、この
  ようなことを認めるルールでも良い。
  最後に盤が埋め尽くされた時に双方の駒の多いほうを勝ちとするルールであること。

  現時点では、これにあてはまるゲームは「オセロ」しか知らないが、新しく創作したってかまわない。
  オセロでは、盤面が埋め尽くされる前に終わってしまう場合もある。この場合は例外とする。

  このようなゲームでは、盤面をすべて埋め尽くして終了したとき、
  得点差は必ず偶数であることを証明せよ。

3 上記において、打つことのできる場所の総数が奇数である場合には、
  
得点差は必ず奇数であることを証明せよ。

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