長方形の分割 No.20

与えられた長方形を、なるべく少ない個数の正方形に分割せよ。

という問題です。元の長方形の縦横の辺の比は有理数であるとします。
(辺の比が無理数であると、有限個の正方形では分割できない)

単純明快な内容ながら、最小の個数での分割方法は一般化できていないのです。
さらには、ある個数での分割方法があったとき、
それが最小であることも一般的には証明できないらしいのです。」

結構少ない個数による分割を与える方法、互除法による「連分数」型分割、
部分分数に展開する「部分分数」型分割など、いくつかの分割法を考えましたが、
どの方法も今のところ最小である保証がないのです。

とりあえず説明は抜きにします。
パズルとして楽しんでください。

辺の比を正の既約分数で表すことにします。
例えば、辺の比が 5:6 の長方形を「5/6 の長方形」と呼ぶことにします。

5/6 の長方形

なるべく少ない個数の
正方形に分割しよう。

 

6個の正方形に分割

 

5個の正方形に分割
これが最小らしい
証明もできるらしい

問題 10/33      最小と思われる解・・・9個    画像をクリックすると解答例が見られます。

問題 27/32      最小と思われる解・・・8個    画像をクリックすると解答例が見られます。

  

問題 27/28      最小と思われる解・・・8個    画像をクリックすると解答例が見られます。

問題 20/27      最小と思われる解・・・8個    画像をクリックすると解答例が見られます。 

問題 18/19      最小と思われる解・・・7個    画像をクリックすると解答例が見られます。 

問題 11/13      最小と思われる解・・・6個    画像をクリックすると解答例が見られます。

 

視点を変えた問題

最小の分割正方形が「3個」である長方形をすべて挙げよ。

(既約分数で表現すること。)

最小の分割正方形が「4個」である長方形をすべて挙げよ。

(既約分数で表現すること。)

もっと少ない個数の解答をみつけた方はメールか、掲示板にどうぞ。

互除法による「連分数」型分割、部分分数に展開する「部分分数」型分割などについて詳しく知りたい方は
メールをください。パンフレットをお送りします。

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