滑らかな定幅図形

「定幅図形」というのは、どのように傾けても、
ある一定の幅を持つ図形のことです。

断面が「定幅図形」である棒を2本、板の下にしいて板を動かすと、
円柱と同じようにコロになります。
角があるのに滑らかに転がります。

典型的なものはもちろん「円」ですが、その他に「ルーローの多角形」
と呼ばれる図形があります。 


ルーローの三角形「ルーローの多角形」参照


滑らかな定幅図形

ルーローの三角形には、「角」があります。
つまり「微分不可能」な点があるわけです。

そこで、「滑らかに連続」な定幅図形を考えてみました。

一辺の正三角形ABCがあります。

各辺を延長します。

図のように置いたとき、

頂点Aから上側に半径の弧を描きます。

次に同様にAを中心として、
下側に半径2の弧を描きます。

頂点B,Cからも同様に2つの弧を

描きます。

この「おにぎり」が、幅 a の「定幅図形」

であることは容易に確かめられるでしょう。

さらに、円弧の接続点は、辺の延長線が

法線となっているので、

「滑らかに連続」であります。


任意の三角形ABCからも、

同様に左図のように作図できます。

幅 a+b+c の「定幅図形」

ができました。

これも「滑らかに連続」であることは

明らかです。

正三角形の場合、図のように、

上方に半径 na

下方に半径 (n+1)a

として描けば、

幅、(2n+1)a の

「滑らかに連続」な「定幅図形」

ができあがります。

が大きくなると円に近づきます。

は整数でなくとも良い)

ルーローの三角形は、n=0 の

場合であると考えられます。


五角形への拡張

正五角形からも同様に一般化できます。

一辺1の正五角形の対角線の長さは、

Φ、黄金比の値になります。

辺ではなく、「対角線」を延長します。

一つの頂点 A から上側に、任意の

半径  の弧を描きます。

反対側には、半径 Φ+ の弧を

描きます。

これを全ての頂点に対して行います。

実際の作図では、Φの値を意識する

必要はありません。

先ず赤い部分、半径  の弧を、

5個全部描いておきます。

青い方、半径 Φ+ の弧は、

コンパスを合わせて描けばOKです。

幅、Φ+2 の「定幅図形」 です。

=0 の場合にルーローの五角形

になります。

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